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¿Qué es el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes, que lleva el nombre del matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes, es una fórmula matemática para determinar la probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un resultado, basada en la existencia de un resultado anterior. El teorema de Bayes proporciona una forma de revisar las predicciones o teorías existentes (actualización de probabilidades) a la luz de evidencia nueva o adicional. Para las finanzas, el teorema de Bayes se puede utilizar para calificar el riesgo de prestar dinero a posibles prestatarios.

El Teorema de Bayes también se denomina Regla de Bayes o Regla de Bayes y es la base del campo estadístico Bayesiano.

Conclusiones clave

  • El teorema de Bayes le permite actualizar las probabilidades de predicción de eventos incorporando nueva información.
  • El teorema de Bayes recibió su nombre del matemático del siglo XVIII Thomas Bayes.
  • A menudo se utiliza en el campo de las finanzas para actualizar la evaluación de riesgos.

Entendiendo el teorema de Bayes

La aplicación del teorema es extensa y no se limita al campo financiero. Por ejemplo, el teorema de Bayes se puede utilizar para determinar la precisión de los resultados de las pruebas médicas teniendo en cuenta la probabilidad de que alguien tenga una enfermedad y la precisión general de la prueba. El teorema de Bayes se basa en la incorporación de parcelas de probabilidad previas para generar probabilidades posteriores. La probabilidad de avance, en la inferencia estadística bayesiana, es la probabilidad de que ocurra un evento antes de que se recopilen nuevos datos. Ésta es la mejor evaluación racional de la probabilidad de resultado basada en el conocimiento actual antes de realizar un experimento. La probabilidad posterior es la probabilidad revisada de que ocurra un evento después de la inclusión de nueva información. La probabilidad posterior se calcula actualizando la probabilidad anterior mediante el teorema de Bayes. En términos estadísticos, la probabilidad posterior es la probabilidad de que ocurra el evento A desde que ocurrió el evento B.

Por lo tanto, el teorema de Bayes da una probabilidad de salida basada en nueva información que está, o puede estar, relacionada con ese evento. La fórmula también se puede utilizar para ver cómo la nueva información hipotética afecta la probabilidad de que ocurra un evento, si se supone que la nueva información es verdadera. Por ejemplo, digamos que se extrae una sola carta de una baraja total de 52 cartas. La probabilidad de que la carta sea el rey es cuatro dividida por 52, que es igual a 1/13 o aproximadamente 7,69%. Recuerde que hay cuatro reyes en la baraja. Ahora, probablemente se revela que la carta seleccionada es una figura. La probabilidad de que la carta elegida sea el rey, ya que es una carta de figura, es cuatro dividido por 12, o alrededor del 33,3%, porque hay 12 cartas de figura en una baraja.

Fórmula para el teorema de Bayes














pag.


(

UNA.



B.

)


=



pag.


(

UNA.




B.


)




pag.


(

B.

)




=



pag.


(

UNA.

)





pag.


(

B.



UNA.

)





pag.


(

B.

)


















dónde:















pag.


(

UNA.

)


=

La probabilidad de ocurrencia A.















pag.


(

B.

)


=

La probabilidad de ocurrencia B.















pag.


(

UNA.



B.

)


=

La probabilidad de que A se llame B.















pag.


(

B.



UNA.

)


=

La probabilidad de que A reciba una B.















pag.


(

UNA.




B.


)


)

=

La probabilidad de que ocurran tanto A como B







begin {alineado} & P left (A | B right) = frac {P left (A bigcap {B} right)} {P left (B right)} = frac {P izquierda (A derecha) cdot {P izquierda (B | A derecha)}} {P izquierda (B derecha)} \ & textbf {lugar:} \ & P izquierda (A derecha ) = text {Probabilidad de ocurrencia de A} \ & P left (B right) = text {Probabilidad de ocurrencia de B} \ & P left (A | B right) = text {Probabilidad de dar AB} \ & P left (B | A right) = text {Probabilidad de dar B} A} \ & P left (A bigcap {B} nice)) = text {Probabilidad de tanto A como B ocurriendo} \ end {alineado}


pag.(UNA.B.)=pag.(B.)pag.(UNA.B.)=pag.(B.)pag.(UNA.)pag.(B.UNA.)dónde:pag.(UNA.)= La probabilidad de ocurrencia A.pag.(B.)= La probabilidad de ocurrencia B.pag.(UNA.B.)=La probabilidad de que A se llame B.pag.(B.UNA.)= La probabilidad de que A reciba una B.pag.(UNA.B.))= La probabilidad de que ocurran tanto A como B

Ejemplos del teorema de Bayes

A continuación se muestran dos ejemplos del teorema de Bayes en el que el primer ejemplo muestra cómo se puede derivar la fórmula en un ejemplo de inversión en acciones utilizando Amazon.com Inc. (AMZN). El segundo ejemplo del teorema de Bayes se relaciona con las pruebas de drogas farmacéuticas.

Derivando la fórmula del teorema de Bayes

El teorema de Bayes se deriva directamente de los ejes de probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento desde que ocurrió otro. Por ejemplo, una pregunta de probabilidad simple podría ser: «¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de Amazon.com caiga?» La probabilidad condicional lleva esta pregunta un paso más allá al preguntar: «¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de AMZN caiga? Desde ¿El índice de promedio industrial Dow Jones (DJIA) cayó antes? »

La probabilidad condicional A desde que ocurrió B se puede expresar:

Si A: «baja el precio AMZN», entonces P (AMZN) es la probabilidad de que AMZN caiga; y B es: «El DJIA ya está caído», y P (DJIA) es la probabilidad de que el DJIA cayera; entonces la frase probabilidad condicional se lee como «la probabilidad de que AMZN caiga si el DJIA baja es igual a la probabilidad de que el precio de AMZN caiga y que el DJIA disminuya más allá de la probabilidad de que el índice DJIA caiga».

P (AMZN | DJIA) = P (AMZN y DJIA) / P (DJIA)

La probabilidad de eso es P (AMZN y DJIA) ambas cosas A y B sucediendo. Esto es lo mismo que la probabilidad de ocurrencia de A multiplicada por la probabilidad de ocurrencia de B desde A, expresada como P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). El teorema de Bayes se debe al hecho de que estas dos expresiones son idénticas, escritas como:

si, P (AMZN y DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)

entonces, P (AMZN | DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P (DJIA).

Donde P (AMZN) y P (DJIA) son las probabilidades de que Amazon y el Dow Jones caigan, independientemente el uno del otro.

La fórmula explica la relación entre la probabilidad de la hipótesis antes de ver la evidencia que da P (AMZN), y la probabilidad de la hipótesis después de recibir la evidencia P (AMZN | DJIA), si a Amazon se le da una hipótesis dada como evidencia en el Dow. .

Ejemplo numérico del teorema de Bayes

Por ejemplo numérico, imagine que hay una prueba de drogas que tiene una precisión del 98%, lo que significa que el 98% de las veces muestra un resultado positivo real para alguien que usa la droga y el 98% de las veces muestra un resultado negativo real para alguien que usa la droga. personas que no consumen la droga. Luego suponga que el 0,5% de las personas consumen la droga. Si una persona seleccionada al azar realiza pruebas positivas para el medicamento, se puede hacer el siguiente cálculo para ver la probabilidad de que la persona sea realmente un usuario del medicamento.

(0,98 x 0,005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 – 0.98) x (1 – 0.005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%

El teorema de Bayes muestra que incluso si una persona dio positivo en este caso, de hecho es más probable que la persona no sea un consumidor de drogas.