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Distribución de probabilidad de dibujo

Independientemente de su opinión sobre la previsibilidad o la eficiencia de los mercados, es probable que esté de acuerdo en que los rendimientos garantizados son inciertos o riesgosos para la mayoría de los activos. Si ignoramos las matemáticas que subyacen a las distribuciones de probabilidad, podemos ver que son imágenes que describen una cierta visión de la incertidumbre. La distribución de probabilidad es un cálculo estadístico que describe la probabilidad de que una variable en particular se encuentre entre o dentro de un rango específico en un gráfico trazado.

La incertidumbre se refiere a la aleatoriedad. Es diferente de la falta de previsibilidad o la ineficiencia del mercado. Desde una perspectiva de investigación emergente, los mercados financieros son inciertos y predecibles. Además, los mercados pueden ser eficientes pero también inciertos.

Para las finanzas, utilizamos distribuciones de probabilidad para dibujar imágenes que reflejen nuestra visión de la sensibilidad del rendimiento de los activos cuando consideramos que el rendimiento de los activos puede considerarse como una variable aleatoria. En este artículo, repasaremos algunas de las distribuciones de probabilidad más comunes y le mostraremos cómo calcularlas.

Las distribuciones se pueden categorizar como discretas o continuas, y si es una función de densidad de probabilidad (PDF) o una distribución acumulativa.

 

Distribuciones discretas frente a continuas

Discreto se refiere a una variable aleatoria extraída de un conjunto limitado de resultados posibles. Por ejemplo, la muerte de seis lados tiene seis efectos aislados. La distribución continua se refiere a una variable aleatoria extraída de un conjunto infinito. Los ejemplos de variables aleatorias continuas incluyen velocidad, duración y algunos retornos de activos. Las variables aleatorias discretas generalmente se muestran con puntos o guiones, y una variable continua se representa con una línea sólida. La siguiente figura muestra distribuciones discretas y continuas para la distribución normal con un promedio (valor esperado) de 50 y una desviación estándar de 10:

Imagen 1
Imagen de Julie Bang © Investopedia 2020

Es un intento de rastrear la distribución de la incertidumbre. En este caso, un resultado de 50 es el más probable, pero solo sucederá alrededor del 4% de las veces; el resultado 40 es una desviación estándar por debajo de la media y ocurrirá un poco menos del 2.5% de las veces.

 

Densidad de probabilidad frente a distribución acumulativa

La otra distinción es entre la función de densidad de probabilidad (PDF) y la función de distribución acumulativa. La PDF es la probabilidad de que nuestra variable aleatoria alcance un valor específico (o en el caso de una variable continua, una caída entre intervalos). Mostramos esto por la probabilidad de una variable aleatoria X. será igual al valor real X:

pags.[x=X] inicio {alineado} y P.[x = X] \ end {alineado}

pags.[x=X]

La distribución acumulativa es la probabilidad de cambio aleatorio X. será menor o igual que el valor real X:

pags.[x<=X] inicio {alineado} y P.[x <= X] \ end {alineado}

pags.[x<=X]

o, por ejemplo, si es una variable aleatoria de altura con un valor potencial de 5’10 «pulgadas (altura promedio para los padres), entonces la pregunta del PDF es,» ¿Cuál es la probabilidad de que usted alcance una altura de 5’4 «? «la pregunta correspondiente para una función de distribución acumulativa,» ¿Cuál es la probabilidad de que sea menor de 5’4 «? »

La figura anterior mostró dos distribuciones normales. Ahora puede ver que estos son gráficos de función de densidad de probabilidad (PDF). Si volvemos a trazar exactamente la misma distribución con una distribución acumulativa, obtenemos lo siguiente:

Imagen 2
Imagen de Julie Bang © Investopedia 2020

La distribución acumulativa debe alcanzar eventualmente 1.0 o 100% en el eje y. Si subimos el listón lo suficientemente alto, en algún momento, casi todos los resultados caerán por debajo de ese listón (podríamos decir que la distribución suele ser asintomática hasta 1.0).

Las finanzas, las ciencias sociales, no son tan limpias como las ciencias físicas. La gravedad, por ejemplo, tiene una fórmula elegante en la que podemos confiar una y otra vez. Por el contrario, los rendimientos de los activos financieros no se pueden replicar de manera tan consistente. Una gran cantidad de dinero se ha perdido a lo largo de los años por personas inteligentes que han confundido las distribuciones exactas (es decir, como si fueran derivadas de las ciencias físicas) con las aproximaciones triviales y poco confiables que intentan mostrar resultados financieros. En términos de finanzas, las distribuciones de probabilidad son poco más que representaciones pictóricas en bruto.

 

Distribución uniforme

La distribución más simple y popular es la distribución uniforme, en la que todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir. Las matrices de seis caras tienen una distribución uniforme. Cada resultado tiene una probabilidad de aproximadamente el 16.67% (1/6). Nuestro gráfico a continuación muestra la línea continua (para que pueda verla mejor), pero recuerde que esta es una distribución discreta, no puede sacar 2.5 o 2.11:

Imagen 3
Imagen de Julie Bang © Investopedia 2020

Ahora tira dos dados juntos, como se muestra en la figura siguiente, y la distribución ya no es uniforme. Golpea a los siete, lo que tiene un 16.67% de posibilidades. En este caso, es menos probable que todos los demás resultados:

Imagen 4
Imagen de Julie Bang © Investopedia 2020

Ahora tira tres dados juntos, como se muestra en la figura siguiente. Comencemos por ver los efectos más sorprendentes de un teorema: el teorema del límite central. El teorema de la frontera central asume audazmente que la suma o media de un conjunto de variables independientes suele estar distribuida normalmente, independientemente de su propia distribución. Nuestros dados son uniformes solo con solo juntarlos y, a medida que agregamos más dados, mágicamente su interés por lo ordinario generalmente será familiar.

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Imagen de Julie Bang © Investopedia 2020

 

Distribución binomial

La distribución binomial representa una serie de intentos de «uno u otro», como una serie de lanzamientos de monedas. Estos se denominan ensayos de Bernoulli, que se refieren a eventos que tienen solo dos resultados, pero ni siquiera necesitas un impar (50/50). La siguiente distribución binomial asume un conjunto de 10 lanzamientos de monedas y la probabilidad de que salga cara es del 50% (p-0.5). Puede ver en la figura a continuación que la posibilidad de deslizar cinco caras y cinco cruces (sin importar el orden) es solo del 25%:

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Imagen de Julie Bang © Investopedia 2020

Si la distribución binomial le parece normal, tiene razón en eso. A medida que aumenta el número de ensayos, las cajas tienden hacia la distribución normal.

 

Distribución lognormal

La distribución escénica es muy importante desde el punto de vista financiero porque muchos de los modelos más populares asumen que los precios de las acciones se distribuyen ligeramente. Los rendimientos de los activos se confunden fácilmente con los niveles de precios.

Los rendimientos de los activos a menudo se tratan como normales: las acciones pueden subir un 10% o bajar un 10%. Los niveles de precios a menudo se tratan como escénicos: las acciones de $ 10 pueden subir hasta $ 30 pero no pueden bajar a – $ 10. La distribución escénica es distinta de cero y está sesgada hacia la derecha (nuevamente, no puede con las acciones cayendo por debajo de cero pero teniendo sin límite teórico al alza):

Lognormal
Imagen de Julie Bang © Investopedia 2020

 

Poisson

La distribución de Poisson se usa para describir lo que sucede en un evento particular (por ejemplo, pérdida diaria de cartera por debajo del 5%) que ocurre durante un intervalo de tiempo. Entonces, en el siguiente ejemplo, asumimos que algún proceso operativo tiene una tasa de error del 3%. Tomamos otros 100 ensayos aleatorios; La distribución de Poisson describe la probabilidad de obtener un cierto número de errores durante un cierto período de tiempo, como un día.

Imagen 8
Imagen de Julie Bang © Investopedia 2020

 

T la pupila

La distribución T del estudiante también es muy popular porque tiene una «cola más aguda» que la distribución normal. La pupila T se utiliza normalmente cuando el tamaño de nuestra muestra es pequeño (es decir, menos de 30). Para las finanzas, la cola izquierda es igual a las pérdidas. Por tanto, si el tamaño de la muestra es pequeño, nos atrevemos a decir lo mínimo de una gran pérdida. La cola más afilada en la T del estudiante nos ayudará aquí. Sin embargo, sucede que la cola gorda de esta distribución a menudo no es lo suficientemente gorda. Los rendimientos financieros (es decir, catastróficos ocasionales (es decir, más abundantes de lo que habían predicho las distribuciones)) generalmente resultan en pérdidas de cola ancha.

 

Distribución Beta

Finalmente, los modelos que estiman las tasas de recuperación en carteras de bonos, la distribución beta (que no debe confundirse con el parámetro beta en el modelo de precios de activos de capital) son populares. La distribución beta es el reproductor de utilidad de las distribuciones. Como el ordinario, solo necesita dos parámetros (alfa y beta), pero se pueden combinar para una gran flexibilidad. A continuación, se muestran cuatro posibles distribuciones beta:

Imagen 9

 

La línea de fondo

Como tantos zapatos en nuestro armario de zapatos estadísticos, tratamos de elegir el que mejor se adapta a la ocasión, pero no sabemos realmente qué nos depara. Podemos seleccionar una distribución normal y subestimar el valor de la cola de la cola izquierda; así que pasamos a una distribución sesgada, solo para encontrar que los datos parecen más “normales” en el siguiente período. Las elegantes matemáticas a continuación pueden llevarlo a pensar que estas distribuciones revelan una verdad más profunda, pero es más probable que sean artefactos puramente humanos. Por ejemplo, todas las distribuciones que revisamos son bastante fluidas, pero algunos retornos de activos aumentan sin parar.

La distribución normal es omnipotente y elegante y requiere solo dos parámetros (promedio y distribución). Muchas otras distribuciones convergen hacia lo normal (por ejemplo, binomial y Poisson). Sin embargo, muchos casos, como los rendimientos de los fondos de cobertura, las carteras de crédito y los eventos de pérdidas graves, no merecen las distribuciones normales.