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¿Qué es el modelo Black-Scholes?

El modelo Black-Scholes, también conocido como modelo Black-Scholes-Merton (BSM), es un modelo matemático para el contrato de opciones de precios. En particular, el modelo estima la variabilidad en el tiempo de los instrumentos financieros.

Conclusiones clave

  • El modelo de Merton Black-Scholes (BSM) es una ecuación diferencial que se utiliza para resolver los precios de las opciones.
  • El modelo de Black-Scholes ganó el premio Nobel de economía.
  • El modelo estándar de BSM solo se utiliza para fijar el precio de las opciones europeas porque no tiene en cuenta que las opciones estadounidenses pueden ejercerse antes de la fecha de vencimiento.

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Modelo Black-Scholes

Comprender el modelo de Black Scholes

El modelo Black-Scholes es uno de los conceptos más importantes de la teoría financiera moderna. Fue desarrollado por Fischer Black, Robert Merton y Myron Scholes en 1973 y todavía se usa ampliamente en la actualidad. Se considera que es una de las mejores formas de determinar el precio justo de las opciones. El modelo Black-Scholes requiere cinco variables de entrada: precio de ejercicio de la opción, precio actual de las acciones, tiempo de vencimiento, tasa libre de riesgo y volatilidad.

También conocido como Black-Scholes-Merton (BSM), fue el primer modelo ampliamente utilizado para la fijación de precios de opciones. Se utiliza para calcular el valor teórico de las opciones utilizando los precios de las acciones actuales, los dividendos esperados, el precio de ejercicio de las opciones, las tasas de interés esperadas, el tiempo de vencimiento y la volatilidad esperada.

La ecuación inicial se introdujo en el artículo de 1973 de Black y Scholes, «The Pricing of Options and Corporate Liabilities», publicado en Revista de Economía Política. Black murió dos años antes de que Scholes y Merton recibieran el Premio Nobel de Economía en 1997 por su trabajo en busca de un nuevo método para determinar el valor de los derivados. (Después de todo, el Premio Nobel no se otorga; sin embargo, el comité Nobel reconoció el papel de Black en el modelo Black-Scholes).

Black-Scholes argumenta que los instrumentos, como acciones o contratos de futuros, tendrán una distribución de precios esporádica después de una caminata aleatoria con corriente y volatilidad constantes. Utilizando este supuesto y teniendo en cuenta otras variables importantes, la ecuación de precios encuentra una opción de compra al estilo europeo.

Los datos de entrada de la ecuación de Black-Scholes son la volatilidad, el precio del activo subyacente, el precio de ejercicio de la opción, el tiempo hasta que expira la opción y la tasa de interés libre de riesgo. Con estas variables, teóricamente es posible que los vendedores establezcan opciones de precios razonables para las opciones que están vendiendo.

Además, el modelo predice que el precio de los activos fuertemente negociados sigue un movimiento geométrico browniano con corriente y volatilidad constantes. Cuando se aplica a una opción sobre acciones, el modelo incorpora la variación constante del precio de la acción, el valor del dinero en el tiempo, el precio de ejercicio de la opción y el momento en que vence la opción.

Supuestos de Black-Scholes

El modelo de Black-Scholes hace ciertas suposiciones:

  • Es una opción europea y solo se puede ejercer al vencimiento.
  • No se pagan dividendos durante la vigencia de la opción.
  • Los mercados son eficientes (es decir, los movimientos del mercado son impredecibles).
  • No hay costos de transacción asociados con la compra de la opción.
  • La tasa libre de riesgo y la volatilidad subyacente de las bases son conocidas y estables.
  • Los resultados sobre el activo subyacente generalmente se distribuyen a intereses.

Aunque el modelo original de Black-Scholes no consideró los efectos de los dividendos pagados durante la vida de la opción, el modelo a menudo se adapta para contabilizar los dividendos determinando el valor de la fecha ex-dividendo de la acción subyacente. Muchos fabricantes del mercado que venden opciones también modifican el modelo para tener en cuenta el efecto de las opciones que se pueden ejercer antes de que expiren. Alternativamente, las empresas utilizarán un modelo binomial o trinomial o un modelo de Bjerksund-Stensland para fijar el precio de las opciones de estilo estadounidense más comercializadas.

Fórmula Black-Scholes

Las matemáticas de la fórmula son complicadas y pueden asustar. Afortunadamente, no es necesario saber o incluso comprender las matemáticas para utilizar el modelado de Black-Scholes en sus propias estrategias. Los operadores de opciones tienen acceso a una variedad de calculadoras de opciones en línea, y muchas de las plataformas de negociación actuales tienen herramientas sólidas de análisis de opciones, incluidos indicadores y hojas de cálculo que realizan los cálculos y generan los valores de precios de las opciones.

La fórmula de la opción de compra de Black-Scholes se calcula multiplicando el precio de las acciones por la función de distribución de probabilidad acumulada normal. Posteriormente, el valor actual neto (VAN) del precio de ejercicio multiplicado por la distribución estándar acumulada estándar se resta del valor resultante del cálculo anterior.

En notación matemática:













C.

=


S.

t


NORTE.

(


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1


)



K.


mi




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2


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dónde:
















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y
















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dónde:















C.

=

Precio de opción de compra















S.

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Precio actual de las acciones (u otro precio base)















K.

=

Precio de ejercicio















r

=

Tasa de interés libre de riesgo















t

=

Tiempo de madurar















NORTE.

=

Distribución normal






start {alineado} & C = S_t N (d _1) – K e ^ {- rt} N (d _2) \ & textbf {lugar:} \ & d_1 = frac {ln frac {S_t} {K} + (r + frac { sigma ^ {2} _v} {2}) t} { sigma_s sqrt {t}} \ & text {y} \ & d_2 = d _1 – sigma_s sqrt {t} \ & textbf {donde:} \ & C = text {Precio de la opción de compra} \ & S = text {Precio actual de las acciones (u otro fondo)} \ & K = text {Precio de ejercicio} \ & r = text {Tasa de interés libre de riesgo} \ & t = text {Tiempo hasta el vencimiento} \ & N = text {Distribución normal} \ end { alineado}


C.=S.tNORTE.(D1)K.mirtNORTE.(D2)dónde:D1=σs tlnorteK.S.t+(r+2σv2) tyD2=D1σs tdónde:C.=Precio de opción de compraS.=Precio actual de las acciones (u otro precio base)K.=Precio de ejercicior=Tasa de interés libre de riesgot=Tiempo de madurarNORTE.=Distribución normal

Deslizamientos de volatilidad

Black-Scholes asume que los precios de las acciones tienen una distribución esporádica porque los precios de los activos no pueden ser negativos (están limitados a cero). Esto también se llama distribución gaussiana.

Los precios de los activos y una cierta cantidad de curtosis (colas gruesas) a menudo se observan a los precios de los activos. Esto significa que los movimientos a la baja de alto riesgo ocurren con frecuencia en el mercado que la distribución normal prevista.

El supuesto de activos subyacentes de activos escénicos debería reflejar fluctuaciones implícitas similares a todos los precios de ejercicio según el modelo de Black-Scholes. Sin embargo, desde que el mercado colapsó en 1987, las fluctuaciones implícitas de las opciones sobre la moneda han sido menores que aquellas que están más lejos del dinero o más lejos del dinero. La razón de este fenómeno es que el precio del mercado tiene una mayor probabilidad de que la alta volatilidad cambie a la baja en los mercados.

Esto da como resultado la presencia de un sesgo de volatilidad. Cuando las fluctuaciones implícitas para opciones con la misma fecha de vencimiento se trazan en un gráfico, se puede ver la forma de una sonrisa o sesgo. Por tanto, el modelo Black-Scholes no es eficaz para calcular la volatilidad implícita.

Límites con el modelo de Black-Scholes

Como se indicó anteriormente, el modelo Black-Scholes solo se utiliza para fijar el precio de las opciones europeas y no tiene en cuenta la posibilidad de ejercer las opciones estadounidenses antes de la fecha de vencimiento. Además, el modelo acepta dividendos y las tasas están libres de riesgo, pero esto puede no ser cierto. El modelo también asume que la volatilidad permanece constante durante la vida de la opción, lo cual no es el caso ya que la volatilidad varía con el nivel de oferta y demanda.

Además, los otros supuestos: no hay costos de transacción ni impuestos; la tasa de interés libre de riesgo es constante para todos los vencimientos; se permite la venta al descubierto de valores para utilizar los ingresos; y no existen oportunidades de arbitraje libres de riesgo: los precios pueden desviarse del mundo real en el que están presentes estos factores.

Preguntas frecuentes

¿Qué hace el modelo Black-Scholes?

Black-Scholes, también conocido como Black-Scholes-Merton (BSM), fue el primer modelo ampliamente utilizado para la fijación de precios de opciones. Partiendo del supuesto de que los instrumentos, como las acciones o los contratos de futuros, tendrán una distribución de precios esporádica después de una caminata aleatoria con corriente y volatilidad constantes, y teniendo en cuenta otras variables importantes, la ecuación de precios recibe una llamada al estilo europeo. elección. Lo hace multiplicando el valor actual neto (VAN) del precio de ejercicio por la distribución acumulada estándar estándar del producto del precio de las acciones y la función estándar de distribución de probabilidad acumulada estándar.

¿Cuáles son las entradas del modelo Black-Scholes?

Los datos de entrada de la ecuación de Black-Scholes son la volatilidad, el precio del activo subyacente, el precio de ejercicio de la opción, el tiempo hasta que expira la opción y la tasa de interés libre de riesgo. Con estas variables, teóricamente es posible que los vendedores establezcan opciones de precios razonables para las opciones que están vendiendo.

¿Qué suposiciones hace el modelo de Black-Scholes?

El modelo de Black-Scholes hace ciertas suposiciones. Lo más importante es que es una opción europea y solo se puede ejercer al vencimiento. Otro supuesto es que no se pagan dividendos durante la vida de la opción; los mercados son eficientes (es decir, los movimientos del mercado son impredecibles); ninguna transacción cuesta la opción de compra; la tasa libre de riesgo y la volatilidad de las bases subyacentes son conocidas y estables; y los rendimientos del activo subyacente generalmente se distribuyen a intereses.

¿Cuáles son los límites del modelo Black-Scholes?

El modelo Black-Scholes solo se utiliza para fijar el precio de las opciones europeas y no tiene en cuenta que las opciones estadounidenses podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento. Además, el modelo acepta dividendos y las tasas están libres de riesgo, pero esto puede no ser cierto. El modelo también asume que la volatilidad permanece constante durante la vida de la opción, lo cual no es el caso ya que la volatilidad varía con el nivel de oferta y demanda.

Además, los otros supuestos: no hay costos de transacción ni impuestos; la tasa de interés libre de riesgo es constante para todos los vencimientos; se permite la venta al descubierto de valores para utilizar los ingresos; y no existen oportunidades de arbitraje libres de riesgo: los precios pueden desviarse del mundo real en el que están presentes estos factores.

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Negro, Scholes, Merton.
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